5 СИНТЕЗ ЗУБЧАТЫХ МЕХАНИЗМОВ

5.1 КЛАССИФИКАЦИЯ ЗУБЧАТЫХ МЕХАНИЗМОВ

Зубчатые механизмы – это самый распространенный и пожалуй самый важный вид механизмов. Трудно найти такую машину, в которой нет зубчатого механизма. Они применяются в станках, в грузоподъемных машинах, автомобилях, разнообразных технологических машинах и т.д. Основные достоинства зубчатых механизмов, определившие их широкое применение, - строго постоянное передаточное отношение, большая передаваемая мощность на единицу массы, компактность, долговечность, высокий к.п.д. Недостаток – сложность изготовления и высокая стоимость.

Зубчатые механизмы предназначены для передачи вращательного движения и преобразования его параметров. Обычно двигатели обладают скоростью и моментом, как правило, не подходящим для использования в технологическом процессе. Преобразование параметров вращательного движения возможно посредством прижатых друг к другу гладких дисков (рис. 5.1), образующих фрикционные передачи. Ее недостаток – ограниченная мощность из-за большой нагрузки на подшипники, неизбежное проскальзывание, износ поверхностей, потери мощности. Практически передаваемая мощность в таких механизмах не превышает 10 – 20 квт.

Чтобы устранить отмеченные недостатки, диски снабжаются чередующимися выступами и впадинами, располагающимися с определенным интервалом. Такие выступы называются зубьями.

Зубчатым колесом называется звено с замкнутой системой зубьев, обеспечивающей непрерывность движения. Различают еще зубчатый сектор, зубчатую рейку.

Зубчатая передача – трехзвенный механизм, состоящий из двух колес и стойки.

Важнейшей характеристикой зубчатой передачи является передаточное отношение – отношение угловых скоростей колес.

Две или более зубчатые передачи образуют зубчатый механизм.

Зубчатые колеса, зубчатые передачи и зубчатые механизмы чрезвычайно разнообразны. Поэтому целесообразно ознакомиться с их простейшей классификацией.

Зубчатые колеса бывают:

а) цилиндрические и конические,

б) прямозубые, винтовые, шевронные,

в) эвольвентные, циклоидальные, цевочные, трохоидальные, круговинтовые,

г) с внешним и с внутренним зацеплением.

Винтовые колеса могут быть с левым и с правым наклоном зуба. Винтовые колеса с винтовой линией постоянного шага называют косозубыми.

Зубчатые передачи бывают:

а) с постоянным и переменным передаточным отношением некруглые колеса),

б) плоские и пространственные,

в) с параллельными, пересекающимися и скрещивающимися осями колес.

По этому признаку различают цилиндрические, конические, гиперболоидные передачи.

В гиперболоидных передачах звенья выполняются в форме гиперболоида вращения. Гиперболоид – линейчатая поверхность, образуемая при вращении произвольно расположенной в пространстве прямой линии относительно некоторой оси. Таким образом, образующей поверхности гиперболоида является прямая линия. Два сопряженных гиперболоида перекатываются друг по другу без скольжения и касаются по прямой линии. Если их снабдить зубьями, образуется точная гиперболоидная передача (рис. 5.2). На практике используется приближенная гиперболоидная передача, образованная из цилиндрических и конических колес. В таком случае касание их происходит не по линии, а в точке. Различают винтовые, червячные и гипоидные передачи (рис. 5.2). Различают также понижающие и повышающие частоту вращения передачи (редукторы и мультипликаторы), передачи внешнего, внутреннего зацепления, реечные передачи.

Зубчатые механизмы бывают: а) с неподвижными осями колес (рядовые) и с подвижными осями (планетарные), б) предназначенные для передачи большой мощности (силовые) и для преобразования параметров движения (кинематические), в) с одной степенью подвижности и зубчатые дифференциалы.

5.2 ПОНЯТИЕ О ЦЕНТРОИДНЫХ МЕХАНИЗМАХ

Зубчатые механизмы относятся к разряду центроидных механизмов, в основе образования которых лежит центроида. Из теоретической механики известно, что мгновенное плоское движение твердого тела можно привести к одному мгновенному вращению вокруг оси, точка пересечения которой с плоскостью сечения твердого тела называется мгновенным центром вращения (МЦС). При непрерывном движении твердого тела мгновенная ось вращения описывает линейчатую поверхность (цилиндр), называемую аксоидом. В зависимости от того, к какой системе отсчета (неподвижной или движущейся вместе с телом) отнесена мгновенная ось вращения, получаются различные поверхности. Поэтому различают подвижный и неподвижный аксоиды. Аксоиды пересекаются с плоскостью сечения твердого тела по двум кривым, называемым центроидами.

В теоретической механике доказывается, что непрерывное движение твердого тела в плоскости можно представить как качение без скольжения подвижной центроиды по неподвижной, причем подвижная центроида считается жестко связанной с твердым телом, а неподвижная – с системой отсчета. Таким образом, любое плоское движение можно осуществить, подобрав надлежащие центроиды. Сказанное хорошо иллюстрируется на модели шарнирного антипараллелограмма. В этом случае центроидами являются эллипсы (рис.5.3). Снабдив их зубьями, получим эллиптическую зубчатую передачу, в которой при равномерном движении ведущего звена ведомое вращается неравномерно. Такие передачи используются, например, в текстильных машинах. На рис. 5.3 представлены и другие центроидные зубчатые механизмы, применяемые в технике. Но наибольшее применение получили механизмы, в которых центроидами служат окружности.

5.3 ОСНОВНОЙ ЗАКОН ЗАЦЕПЛЕНИЯ

Простейшие зубчатые механизмы применялись еще в древнейшие времена, например, для передачи движения с водяного колеса на жернов. Профиль зубьев мог быть любым, выдерживался только постоянный шаг. Увеличение быстроходности передачи потребовало соответствующего профилирования зубьев. При случайном выборе профиля зубьев мгновенное передаточное отношение переменно, что недопустимо, т. к. колебания скорости выходного звена вызывают инерционные нагрузки, удары в передаче. Профиль зубьев должен быть таким, чтобы угловая скорость выходного звена была строго постоянной. Чтобы ответить на вопрос, каким должен быть профиль, вначале познакомимся с основным законом зацепления.

Нормаль, проведенная через точку касания двух профилей, делит межосевое расстояние на части, обратно пропорциональные угловым скоростям этих профилей.

Требуется доказать, что O1P / O2 P =ω2 / ω1 (рис.5.4)

Через точку А проведем нормаль NN и касательную ТТ и разложим скорости точек А1 и А2 на эти направления. Заметим, что v1 = ω1 r1, v2 = ω2 r2. Кроме того, v1n = v2n - из условия отсутствия вдавливания профилей или их размыкания. Тангенциальные составляющие v1τv2τ, что обусловливает скольжение профилей. Из подобия треугольников AV1V1n и

O1B1A следует:

V1n/V1 = rb1 / r1 откуда V1n = ω1 rb1. Из подобия треугольников AV2V2n и O2B2A следует: V2n / V2 = rb2 / r2 откуда V2n = ω2 rb2. Учитывая, что V1n = V2n, получим ω1 rb1 = ω2 rb2.

Из подобия треугольников O1B1P и O2B2P следует rb1 / rb2 = O1P / O2P. С учетом записанных выше соотношений получим ω1 / ω2 = O2P / O1P, что и требовалось доказать.

Следствие основного закона зацепления: для постоянства передаточного отношения необходимо, чтобы нормаль, проведенная через точку касания двух профилей, пересекала межосевую линию в постоянной точке (полюсе зацепления). Иными словами требуется неизменность положения полюса.

В качестве профилей зубьев могут использоваться кривые, для которых выполняется указанное требование, Такие кривые называются сопряженными. К ним, в частности, относится эвольвента окружности.

5.4 ЭВОЛЬВЕНТА ОКРУЖНОСТИ, ПОСТРОЕНИЕ И СВОЙСТВА

Геометрическое место центров кривизны какой-либо кривой называют инволютой, а саму кривую – эвольвентой (рис. 5.5). При профилировании зубьев в качестве эволюты используется окружность, называемая в дальнейшем основной, а сам зуб очерчивается эвольвентой окружности. Единственным параметром, отличающим одну эвольвенту от другой, является радиус основной окружности.

Можно указать следующий способ образования эвольвенты. Выбирается основная окружность rb, касающаяся ее производящая прямая и чертящая точка на ней. Перекатывая производящую прямую по окружности без скольжения, получаем траекторию чертящей точки, которая является эвольвентой, т.к. мгновенные радиусы кривизны ее лежат на основной окружности. Эвольвенту можно получить, наматывая нить с чертящей точкой на диск (рис. 5.5). Две чертящие точки дадут две эквидистантные (равноотстоящие) эвольвенты.

Приближенное графическое построение эвольвенты как кривой, составленной из множества дуг окружностей, представлено на рис.5.5 б.

Из определения эвольвенты и из указанных выше способов ее построения вытекают следующие очевидные свойства:

1.             Нормаль эвольвенты касается основной окружности.

2.             Радиус кривизны эвольвенты равен длине нормали.

3.             Длина нормали эвольвенты равна длине соответствующей дуги основной окружности

4.             Расстояние между эквидистантными эвольвентами равно длине соответствующей дуги основной окружности

5.5 УРАВНЕНИЕ ЭВОЛЬВЕНТЫ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ

Наиболее удобная форма записи уравнения эвольвенты – в полярных координатах в параметрической форме. В качестве параметра принимается угол профиля эвольвенты. Углом профиля эвольвенты αy называется угол между направлением радиус–вектора к текущей точке Y и направлением касательной Т – Т. Он изменяется в пределах 0 - 90˚, практически используется участок эвольвенты, где αy = 0 - 30˚.

Полярные координаты ry и θy укажут положение точки Y. Установим зависимость ry и θy от параметра αy.

Проведем из точки Y нормаль NN, которая по 1-му свойству эвольвенты коснется основной окружности в точке В. Заметим, что угол BOY равен углу профиля эвольвенты в данной точке. Из треугольника OBY следует

ry = rb / cos αy

Введем угол νy, тогда νy = αy + θy, откуда следует θy = νy - αy.

Из построений на рис. 5.6 и в силу 3-го свойства эвольвенты длина дуги ВА0 равна BY. Из треугольника BYO следует BY/rb = tg αy. На основании приведенных зависимостей нетрудно установить, что центральный угол νy = tg αy. Функция θy = tg αy - αy получила название эвольвентной функции или инволюты. Иногда используется условное обозначение θy = - inv αy.

5.6 ЭВОЛЬВЕНТНОЕ ЗАЦЕПЛЕНИЕ

На рис. 5.7 представлено зацепление эвольвентных профилей. Общая нормаль NN. Проведенная через точку касания двух профилей, обязана согласно 1-му свойству эвольвенты, коснуться основных окружностей. Поскольку таких окружностей две, положение нормали единственно и неизменно. Тем самым подтверждается выполнение следствия основного закона зацепления. В процессе зацепления точка касания профилей не может сойти с общей нормали NN, т.к. в противном случае нарушилось бы 1-ое свойство. Установлено, что при эвольвентном зацеплении профилей точка касания движется по общей нормали с постоянной скоростью.

Введем две окружности, проходящие через полюс зацепления. Такие окружности называются начальными. Они перекатываются друг по другу без скольжения и служат центроидами зубчатых колес.

Эвольвентное зацепление получило широкое распространение благодаря ряду достоинств:

1.             Эвольвентное зацепление нечувствительно к небольшому изменению межосевого расстояния, что удешевляет изготовление корпусных деталей.

2.             Для нарезания эвольвентных зубчатых колес можно применять простой инструмент с прямолинейной режущей кромкой.

3.             При изготовлении колес путем простого смещения инструмента можно добиваться новых положительных свойств.

5.7 ИЗГОТОВЛЕНИЕ ЗУБЧАТЫХ КОЛЕС

Существуют два способа изготовления зубчатых колес: способ копирования и способ обкатки. Способом копирования дисковой или пальцевой фрезой на обычном фрезерном станке вырезается впадина между зубьями (рис.5.7) Поскольку в зависимости от числа зубьев размеры впадины при одном и том же модуле изменяются, нужно иметь очень много фрез. На практике одной фрезой нарезаются колеса в некотором диапазоне чисел зубьев, указанном на фрезе, что не очень точно. Неточность может быть исправлена последующей шлифовкой.

Способ копирования недостаточно производителен, т.к. в работе находится один зуб, много времени тратится на перестановку заготовки. Поэтому способ применяется в единичном и мелкосерийном производстве, при нарезании неответственных, тихоходных колес.

При способе обкатки инструмент и заготовка совершают относительное движение обкатывания, инструмент своими режущими кромками постепенно внедряется в заготовку, прокладывая себе путь. Таким образом, возникает станочное зацепление, аналогичное обычному зацеплению с той разницей, что одно из звеньев является инструментом. Инструмент выполняется в виде гребенки, червячной фрезы или долбяка. Этот способ требует применения специальных зубофрезерных станков. В одних конструкциях станков инструмент обкатывается вокруг неподвижной заготовки, в других – инструмент движется поступательно, заготовка поворачивается, в третьих – заготовка и инструмент (долбяк) вращаются (рис.5.8).

Способ обкатки получил наибольшее распространение. Он производителен, т.к. обрабатывается несколько зубьев сразу, процесс зубонарезания идет непрерывно. Профиль зуба формируется с учетом числа зубьев колеса, поэтому нарезание точное. По такому же принципу производится чистовая обработка, шлифование зубьев.

5.8 ИСХОДНЫЙ КОНТУР

Из описания способов изготовления зубчатых колес ясно, что размеры зуба полностью зависят от профиля инструмента. По ГОСТ профиль инструмента стандартизован путем задания так называемого «исходного контура». На рис.5.9 представлен теоретический исходный контур. Он выполнен в виде рейки с трапециевидными зубьями.

Размеры рейки выражаются через один основной параметр, называемый модулем. Модуль m имеет размерность мм и выбирается из ряда рациональных чисел от 0.05 до 100.

Шаг рейки p - расстояние между одноименными точками двух соседних зубьев. Шаг складывается из толщины зуба s и ширины впадины e. Та единственная прямая, на которой толщина зуба равна ширине впадины, называется делительной прямой рейки., остальные прямые называются начальными. Шаг зубьев рейки p = π m s = e = π m / 2.

Делительная прямая делит зуб на головку и ножку. Высота головки – ha = 1.25 m, высота ножки – hf = m, высота всего зуба – h = 2.25 m. Головка закруглена радиусом ρ = 0.38 m.

Инструмент изготавливается по производящему исходному контуру, отличающемуся от теоретического исходного контура тем, что впадина сделана глубже на 0.25 m и закруглена так же как головка. Это сделано для того, чтобы впадина инструмента не касалась заготовки. Следовательно впадина не участвует в нарезании зуба. Зуб нарезают прямолинейные боковые кромки и скругленная вершина зуба. Рейку можно рассматривать как зубчатое колесо бесконечно большого радиуса. В этом случае эвольвента превращается в прямую линию.

5.9 ЭЛЕМЕНТЫ НУЛЕВОГО ЗУБЧАТОГО КОЛЕСА

У нарезаемого зубчатого колеса на различных окружностях различный шаг зубьев. Та единственная окружность, на которой шаг зубьев равен шагу зубьев рейки, называется делительной. Шаг измеряется по дуге окружности. Ее длина l = p z = π d, откуда следует d = pz / π = mz. Исходя из этой формулы, можно дать определение делительной окружности как окружности, на которой модуль зуба равен модулю рейки. Заметим, что в США стандартизован питч, равный отношению числа зубьев к диаметру делительной окружности, выраженному в дюймах.

Инструмент можно устанавливать на различном расстоянии от центра заготовки. Рассмотрим частный случай, когда делительная прямая касается делительной окружности. Нарезаемое таким образом колесо называется нулевым. Основание для такого названия выяснится в дальнейшем.

Поскольку шаги на делительной окружности и на делительной прямой одинаковы, эти линии катятся друг по другу без скольжения. Толщина зуба делительной прямой рейки воспроизводится без искажения на делительной окружности как ширина впадины колеса. Тогда s = π m / 2, аналогично определяется ширина впадины. Остальные размеры колеса также определены размерами рейки:

= 2.25 m

ha = m

hf = 1.25 m

da = m (z + 2)

df = m (z – 2.5)

Прямолинейные режущие кромки нарезают эвольвентную часть зуба, которая идет до основной окружности. Для определения диаметра основной окружности проведем через точку Р общую нормаль NN. Она проходит под углом 20˚ к делительной прямой. Основная окружность касается общей нормали. Из построения на рис. 5.10 следует, что db = m z cos 20˚.

Из рис.5.10 следует еще один важный вывод, используемый в дальнейшем: угол профиля эвольвенты в точке, лежащей на делительной окружности, равен углу наклона боковой линии рейки, т.е. 20˚.

5.10 НАРЕЗАНИЕ ЗУБЧАТЫХ КОЛЕС СО СМЕЩЕНИЕМ

Рассмотрим случай, когда делительная прямая не касается делительной окружности и смещена от нее в направлении от центра колеса на некоторое расстояние X (рис.5.11). Это расстояние называется смещением и выражается через модуль и коэффициент смещения x

X = x m

Делительная окружность касается некоторой начальной прямой. Поскольку на начальной прямой шаг равен шагу на делительной окружности, то можно считать, что начальная прямая перекатывается по делительной окружности без скольжения и отпечатывает на ней толщину зуба и ширину впадины.

Из построения на рис.5.11 следует, что толщина зуба на делительной окружности

s = π m / 2 + 2 mx tg 20°

Ширина впадины

e = π m / 2 - 2 mx tg 20˚

Диаметры окружностей вершин и впадин

da = m (z – 2.5 + 2x)

df = m (z – 2.5 + 2x)

Рассмотренный случай называется положительным смещением. Коэффициент смещения х здесь считается положительным. Если сместить рейку в направлении к центру колеса, то ее делительная прямая пересечет делительную окружность (рис. 5.12). Такой случай называется отрицательным смещением. Нетрудно убедиться, что для него справедливы все выведенные выше формулы, если принять в них коэффициент смещения с отрицательным знаком. Если положить х = 0, то получим формулы для нулевого колеса.

5.11 ВЛИЯНИЕ СМЕЩЕНИЯ НА ПРОФИЛЬ ЗУБА

На рис.5.12 представлены профили зубьев колес с одним модулем и числом зубьев, но с различными коэффициентами смещения. Из сравнения их следуют выводы:

1.             Диаметры делительной d и основной db окружностей не изменяются.

2.             При х > 0 диаметры вершин и впадин увеличиваются

3.             При х > 0 толщина зуба s увеличивается, ширина впадины уменьшается, ножка зуба становится толще и короче, что увеличивает изгибную прочность зуба.

4.             Смещение не изменяет делительного и основного шага, поэтому зацепление колес с различным смещением происходит нормально

5.             При х > 0 профиль зуба располагается на участках с меньшей кривизной эвольвенты, что увеличивает контактную прочность зуба

6.             При х > 0 толщина зуба по окружности вершин уменьшается

При отрицательном смещении происходят изменения в противоположном направлении и зуб несколько ослабляется. Так как колесо обычно прочнее шестерни, для создания равнопрочной передачи шестерне делают положительное смещение, а колесу – отрицательное, Правильно подобрав смещение, можно значительно повысить прочность передачи.

5.12 ПОДРЕЗАНИЕ, ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ, ЗАОСТРОЕНИЕ

Подрезание проявляется в утончении ножки зуба и приводит к уменьшению изгибной прочности зуба и, кроме того, в связи с сокращением эвольвентного участка, к нарушению закона зацепления на части профиля.

Боковой профиль зуба состоит из главной части и переходной кривой, разделенных граничной точкой L (рис.5.13). Положение точки L при заданном числе зубьев зависит от коэффициента смещения. Коэффициент смещения, при котором точка L лежит на основной окружности, называется коэффициентом смещения. Если x < xmin, переходная кривая пересечет главный профиль дальше основной окружности и часть эвольвенты будет срезана, зуб окажется подрезанным (рис. 5.13).

Для установления зависимости коэффициента смещения х от числа зубьев, рассмотрим схему станочного зацепления при нарезании нулевого колеса (рис.5.14). Установлено, что подрезание возникает, если начальная прямая, проходящая через конец прямолинейной части рейки, заходит за точку касания производящей прямой с основной окружностью – точку А. Для устранения подрезания дадим рейке положительное смещение такое, чтобы точки а и в совпали. Рассмотрим вытекающее из геометрических построений соотношения. Из треугольника АТО следует OT = AO cos 20˚, из треугольника OPA - AO = OP cos 20˚. Тогда OT OP cos2 20˚. С другой стороны ОТ = ОР – ТР, где ОР = mz / 2, TP = mxm. Приравняв обе формулы, получим ОР cos2 20˚ = OPTP. После соответствующих подстановок и преобразований окончательно получим

X = (17 – z)/ 17                                                                       (5.1)

Коэффициент смещения, определенный по формуле (5.1), представляет минимальный коэффициент смещения, при котором отсутствует подрезание. Минимальное число зубьев, свободное от подрезания, равно 17 – для него х = 0. Все колеса с числом зубьев меньше 17 обычно изготавливаются со смещением. Впрочем, небольшое подрезание допускается и даже полезно с точки зрения уменьшения кромочных ударов при зацеплении. При рассмотрении картины зацепления может обнаружиться, что главный профиль головки зуба, сопрягаясь с переходной кривой, внедряется в нее. Такое явление при изготовлении колес приводит к рассмотренному выше подрезанию, а при их зацеплении – к непроворачиваемости и поломке зубьев. Такое явление носит название интерференции. Интерференции не будет, если эвольвентный профиль сопрягается только с эвольвентным, в теории зацепления установлены условия, при которых будет отсутствовать интерференция. Наиболее часто интерференция возникает при внутреннем зацеплении. Необходимо проектировать внутреннее зацепление так, чтобы разница чисел зубьев колес была не менее 7 – 8.

Толщина зуба по окружности вершин зависит от смещения, с увеличением смещения она уменьшается. Может возникнуть заострение зуба, когда толщина зуба по окружности вершин sa = 0. Заострение нежелательно из –за недостаточной прочности зуба – вершина заостренного зуба совершенно неспособна воспринимать нагрузку. Обычно принимают sa > 0.25m – для кинематических передач и sa > 0.4m – для силовых передач. Толщину зуба по окружности вершин можно проверить по приводимой далее формуле.

5.13 ПОСТРОЕНИЕ КАРТИНЫ ЗАЦЕПЛЕНИЯ

Для построения картины зацепления необходимо по известным формулам определить параметры зубчатых колес: d1, d2, da1, da2, df1, df2, db1, db2, s1, s2, p. Межосевое расстояние вычисляется по формуле:

аW = (dW! + dW2) / 2                                                                  (5.2)

В частном случае aW = a, где а – делительное межосевое расстояние, a = (d1 + d2) / 2. Отложим межосевое расстояние aW, отметим центры вращения колес О1 и О2, построим для каждого колеса окружности вершин, впадин, делительную, основную (5.15). Проведем общую нормаль касательно к основным окружностям, Она пересечет межосевое расстояние в

точке Р – полюсе зацепления, через который проходят начальные окружности. Используя общую нормаль как производящую прямую, построим эвольвентный участок профиля зуба первого колеса. Способ построения эвольвенты описан ранее. Переходная кривая условно оформляется как радиальная прямая, сопряженная с окружностью впадин галтелью радиусом ρ = 0.4 m. Отложим половину толщины зуба по делительной окружности и проведем ось симметрии зуба. Для этого удобно воспользоваться шаблоном. Откладывая угловой шаг τ1 = 2π / z1 и используя шаблон зуба, строим 3 – 4 зуба. Точно так же строятся зубья второго колеса.

На картине зацепления можно отметить следующие элементы:

АВ – теоретическая линия зацепления, геометрическое место точек касания профилей зубьев.

ав – активная линия зацепления, часть теоретической линии, ограниченная окружностями вершин.

mn - активная часть профиля зуба, непосредственно участвующая в зацеплении. Для ее определения нужно перенести точку, а радиусом оа на профиль зуба.

αW - угол зацепления, угол между линией зацепления и общей касательной Т – Т. Угол зацепления равен углу профиля эвольвенты αy в точке, лежащей на начальной окружности.

5.14 КОЭФФИЦИЕНТ ПЕРЕКРЫТИЯ

Одной из важнейших качественных характеристик зацепления является коэффициент перекрытия. Он характеризует плавность зацепления колес. Коэффициент перекрытия равен отношению угла перекрытия φα к угловому шагу τ:

εα= φα / τ                                                                                 (5.3)

Угол перекрытия есть угол поворота зубчатого колеса от положения входа зуба в зацепление до положения выхода из зацепления. Его можно определить, рассмотрев два положения зуба – в момент входа и в момент выхода из зацепления (рис. 5.16).

Угол перекрытия должен быть больше углового шага. Благодаря этому первая пара зубьев еще не успевает разомкнуться (придти в точку в) как вторая пара зубьев входит в зацепление. Таким образом, существуют периоды двухпарного зацепления. Это обеспечивает непрерывность зацепления. Чем больше εα, тем плавнее работает передача.

Установим зависимость εα от параметров зацепляющихся колес. Умножим числитель и знаменатель формулы (5.3) на rb - радиус основной окружности. С учетом 4 – го свойства эвольвенты φα rb1 = ab, кроме того, τ1 rb1 = pb - шаг зубьев по основной окружности, следовательно, получим формулу:

εα = ав / pb                                                                                                                                   (5.4)

Формулу (5.4) можно использовать, если построена картина зацепления, на которой можно замерить длину активной линии зацепления ав.

Для получения аналитической зависимости следует представить длину активной линии зацепления в функции от параметров колес.

Из построения на рис.5.15 следует:

Ав = Рв = аР,

Рв = Ав – рА,

АР = Ва – РВ.

Из треугольников О1Ав и О1АР следует:

ав = rb1 tg αa1                                    РА = rb1 tg αW

Из треугольников О2Ва и О2ВР следует

Ba = rb2 tg αa2                                   PB = rb2 tg αW

Произведя подстановку полученных выражений в формулу (5.4) и выполнив необходимые преобразования, получим:

εα = (z1 (tg αa1 - tg αW) + z2 (tg αa2tg αW)) / 2π

Здесь

аa1 = arccos (db1 / da1)                           αa2 = arccos (db2/ da2)

Как вычисляется αW будет показано в дальнейшем.

Коэффициент перекрытия для прямозубых колес должен находиться в пределах 1.2 < εα < 1.98.

5.15 ТОЛЩИНА ЗУБА НА ОКРУЖНОСТИ ПРОИЗВОЛЬНОГО РАДИУСА

Определим толщину зуба sy на окружности диаметра dy. Из построений на рис. 5.16 следует:

Sy = ψy dy                                                                                                                                      (5.5)

Ψy = ψ + θ - θy                                 где θ = inv 20˚, θy = inv αy

Для определения αy рассмотрим треугольник ОВY

αy = arccos (db / dy)

Угол ψ находится из соотношения ψ = s/d, где s – толщина зуба на делительной окружности. Используя формулу (5.5), получим

Ψ = π/ 2z + 2 x tg 20˚/ z

Тогда

Ψy = π/ 2z + 2x tg20˚ + inv20˚ - inv αy

Толщина зуба и ширина впадины определяются из следующих выражений

sy = dy (π /2z + 2x tg20˚ + inv20˚ - invαy)

еy = dy(π / 2z – 2x tg20˚ - inv20˚ + inv αy)

5.16 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ЗУБЧАТОЙ ПЕРЕДАЧИ

При построении картины зацепления межосевое расстояние О1О2 определяется по формуле (5.2). Диаметры начальных окружностей можно найти, рассмотрев треугольники О1АР и О2ВР:

dW1 = mz1 (cos20˚ / cos αW)                                                     (5.6)

dW2 = mz2 (cos 20˚ / cos αW)

В таком случае начальное межосевое расстояние рассчитывается по формуле

aW = 0.5 m (z1 + z2) (cos20˚ / cos αW)                                      (5.7)

Как уже указывалось, при работе зубчатой передачи начальные окружности перекатываются друг по другу без скольжения. В случае беззазорного зацепления толщина зуба на начальной окружности одного колеса равна ширине впадины на начальной окружности другого колеса

sW1 = eW2

Выполнив подстановку соответствующих выражений для толщины зуба и ширины впадины и произведя соответствующие преобразования, получим:

inv αW = 2 tg20˚ (x1 + x2) / (z1 + z2) + inv20˚                            (5.8)

Полученное выражение называется уравнением зацепления, оно позволяет определить угол зацепления, исходя из заданных чисел зубьев и коэффициентов смещений.

Формулы (5.6). (5.7), (5.8) образуют основу для геометрического расчета зубчатой передачи. В зависимости от сочетания коэффициентов смещений различают четыре варианта передач, представленных в таблице

1

x1 = x2 = 0

∑x = 0

αW = 20˚

dW = d

aW = a

нулевая передача

2

x1 = - x2

∑x = 0

αW = 20˚

dW = d

aW = a

равносмещенная передача

3

x1 ≠ 0, x2 ≠ 0

∑x > 0

αW > 20˚

dW > d

aW > a

положительная передача

4

x1 ≠ 0, x2 ≠ 0

∑x < 0

αW < 20˚

dW < d

aW < a

отрицательная передача

Иногда формулу (5.6) представляют в виде:

аW = a + y m

Где y - коэффициент воспринимаемого смещения:

y = 0.5 (z1 + x2) (cos 20˚ - cos αW) / cos αW

Кроме того, вводится обозначение

y = ∑ x - y

где y - коэффициент уравнительного смещения.

Согласно ГОСТ 16132- 72 расчет геометрических параметров зубчатой перeдачи следует вести с использованием этих коэффициентов.

5.17 БЛОКИРУЮЩИЕ КОНТУРЫ

Как уже было показано, коэффициенты смещения существенно влияют на качественные показатели зубчатой передачи и ее геометрию. Использование колес со смещением позволяет вписаться в заданное межосевое расстояние. При увеличении x растет контактная и изгибная прочность. Смещение влияет на скорость скольжения профилей, а значит на их износ. Помимо благоприятного влияния увеличение смещения ведет к заострению, интерференции, к снижению коэффициента перекрытия. Невозможно назначить смещение, оптимальное со всех точек зрения. Для каждой отдельной передачи следует рассмотреть всю совокупность эффектов, вызываемых смещением, что представляет весьма трудоемкую задачу.

С целью облегчения практического использования колес со смещением разработан метод блокирующих контуров. Результаты расчетов представлены в виде диаграмм, так называемых блокирующих контуров. Они позволяют обоснованно назначать коэффициенты смещения, не прибегая к трудоемким расчетам.

Блокирующий контур строится для каждой пары чисел зубьев z1 и z2. На координатных осях откладываются значения x1 и x2 так, что точка А соответствует передаче, составленной из колес с положительным смещением, точка В – с отрицательным смещением, точка 0 - для нулевых колес (рис. 5.17). Таким образом, каждой точке координатного поля соответствует вариант передачи. Однако не все точки этого поля можно использовать. Некоторые неприемлемы по условию существования передачи: интерференции, подрезания, заострения, малого коэффициента перекрытия. Предельно допустимому значению каждого этого параметра соответствуют безусловные границы, эти границы в виде линий в совокупности образуют блокирующий контур. Для каждой пары чисел зубьев формы контура будут разными. Внутри контура могут быть нанесены условные границы, например, εα = 1.2, sa = 0.25 m, x = xmin и т. д. Блокирующие контуры для различных сочетаний чисел зубьев колес содержаться в соответствующих справочниках.

5.18 КОСОЗУБЫЕ КОЛЕСА

Винтовые колеса с постоянным шагом винтовой линии называются косозубыми. Боковая поверхность зуба образуется чертящей прямой АВ, лежащей в производящей плоскости Р при обкатывании ее вокруг основного цилиндра Q. Если чертящая прямая параллельна образующей основного цилиндра, получается прямозубое колесо, если она составляет с образующей угол βb – косозубое. Каждая точка прямой описывает эвольвенту. Косозубое колесо можно рассматривать как множество прямозубых колес бесконечно малой толщины, сдвинутых друг относительно друга. Боковая поверхность зуба пересекает основной цилиндр по винтовой линии с углом подъема 90˚ - βb Угол подъема винтовой линии, измеренный на поверхности делительного цилиндра, находится на основании зависимости tg β = (r/rb) tg βb.

Рассмотрим развертку делительного цилиндра на плоскости + рис.(5.18).На ней можно указать три шага зубьев: нормальный pn, торцевой pt, осевой pa. Соответственно этому имеется три модуля: нормальный mn, торцевой mt, осевой ma. Из построения на рис. следует, что

Pt = pn cos β, следовательно mt = mn cos β.

Косозубые колеса изготавливаются тем же инструментом, что и прямозубые. Заготовка разворачивается относительно инструмента на угол β. В нормальном сечении зуб получается таким же, как у соответствующего прямозубого колеса. Размеры зубьев в торцевом сечении рассчитываются по приведенным выше формулам, но модуль принимается торцевой, выраженный через стандартный модуль инструмента.

Основная особенность косозубых колес состоит в том, что зубья входят в зацепление не по всей длине зуба, как это происходит в прямозубых колесах, а по контактной линии, параллельной образующей основного цилиндра, длина которой непрерывно изменяется. Благодаря этому увеличивается продолжительность контакта пары зубьев, что находит выражение в увеличении коэффициента перекрытия. Для косозубых колес коэффициент перекрытия

εγ = εα+ εβ

где εα – коэффициент перекрытия соответствующего прямозубого колеса,

εβ- добавочный коэффициент перекрытия из-за наклона линии зуба:

εβ = φβ / τ, где τ - угловой шаг.

Из построения на рис. 5.19 следует:

φβ = b tg β / r

Достоинство косозубых колес – плавность работы, бесшумность, недостаток наличие осевого усилия на подшипники. Для устранения этого усилия применяют шевронные колеса.

5.19 ДРУГИЕ ВИДЫ ЗАЦЕПЛЕНИЯ

Помимо эвольвентного ограниченное распространение получили другие виды зацепления. В прошлом было широко распространено циклоидальное (циклоидное) зацепление. Если чертящую точку взять не на прямой, а на производящей окружности, и перекатывать ее по основной окружности, чертящая точка будет описывать кривую, называемую циклоидой. Причем, если производящая окружность катится снаружи основной, будет эпициклоида, если внутри – гипоциклоида. В циклоидальном зубчатом колесе профиль головки зуба выполняется по эпициклоиде, а профиль ножки зуба – по гипоциклоиде. Преимущество циклоидального зацепления – контакт выпукло- вогнутых поверхностей и, как следствие, уменьшение контактных напряжений. Недостаток – нельзя изменять межцентровое расстояние и вообще менять колеса в парах.

Разновидностью циклоидального является часовое зацепление, в этом зацеплении эпициклоида головки зуба заменена дугой окружности, а гипоциклоида – прямой (циклоида превращается в прямую, если rn = 0.5 rb (рис. 5.20)). Достоинства зацепления, большие передаточные отношения и уменьшенный износ по сравнению с эвольвентным зацеплением.

Другой разновидностью циклоидального зацепления является цевочное зацепление. Боковой профиль зуба шестерни выполняется по эпициклоиде, зуб другого колеса - в виде цилиндрического ролика, называемого цевкой (рис. 5.20 б). При соответствующем выборе параметров профили будут сопряженными. Такое зацепление применяется там, где большое колесо по технологическим соображениям выполнить невозможно, его собирают из дисков, снабженных цевками. Такие колеса применяются, например, для привода поворотных платформ больших экскаваторов.

Сравнительно недавно было предложено круговинтовое зацепление (зацепление Новикова). Если в обычном эвольвентном зацеплении зубья касаются по контактной линии, которая перемещается по высоте зуба, то в круговинтовом зацеплении контакт происходит в точке, которая перемещается вдоль зуба. В качестве профилей зубьев здесь используются дуги окружностей (рис. 5.20 в). Так как разница радиусов кривизны невелика, контактные напряжения малы. Поскольку точка контакта перемещается вдоль зуба, высоту зуба можно делать небольшой, тем самым, увеличивая прочность зубьев. Зубчатые колеса с круговинтовыми зубьями, несмотря на их достоинства, нашли ограниченное применение в связи со сложностью изготовления инструмента для их нарезки.

5.20 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗУБЧАТЫЕ ПЕРЕДАЧИ

Винтовая передача – передача между цилиндрическими колесами со скрещивающимися осями. (рис. 5.21а). Передача образована обычными косозубыми колесами, у которых углы наклона зубьев β1 и β2 и угол скрещивания осей β находятся в соотношении β = β1 + β2.

Здесь имеет место точечное касание, что является недостатком передачи. Передаточное отношение колеблется в пределах 1 — 5. При передаточном отношении U ≥ 5 винтовая передача переходит в червячную (рис.5.21 в).

Червячные передачи находят широкое применение в технике. Ее достоинства – большое передаточное отношение, плавность, бесшумность, в большинстве случаев свойство самоторможения. Недостатки – низкий к.п.д., большие осевые усилия на подшипники, повышенный износ червячного колеса.

Червяк представляет собой винтовое зубчатое колесо малого диаметра и большой ширины, с большим наклоном зуба червяка, как и винты, могут быть одно- и многозаходными. Под числом заходов понимается число зубьев червяка. Червячное колесо представляет косозубое эвольвентное колесо с углом наклона зуба β = 90˚ - γ, где γ – угол подъема винтовой линии на делительной окружности червяка. Для повышения долговечности передач, улучшения смазки колеса делают не цилиндрическими и придают им специальную форму. Червяк делают глобоиным (рис. 5.21 в), червячному колесу придают форму, показанную на рис. 5.21г.

Передаточное отношение червячной передачи определяется по формуле:

U = Uk / Uч

Где - число зубьев колеса, – число зубьев (заходов) червяка.

Для однозаходного червяка передаточное отношение равно числу зубьев червячного колеса, что и объясняет большое передаточное отношение червячных передач.

Коническая передача образована коническими зубчатыми колесами с пересекающимися осями(рис. 5.22). В основе передачи лежат начальные конусы, перекатывающиеся друг по другу без скольжения. Часть зуба, выступающая за начальный конус, является головкой, а часть, лежащая внутри – ножкой зуба. Высота головки и ножки, а также остальные размеры зубьев, в том числе и модуль, уменьшаются при переходе от наружного торца колеса к внутреннему. За модуль колеса принимается наибольший, относящийся к делительной окружности наружного торца колеса. Размеры зубьев подсчитываются по тем же формулам, что и для прямозубых колес. Нарезание конических колес с прямыми зубьями возможно только на специальных зубострогальных станках. Применяются также конические колеса с криволинейными зубьями.

5.21 ПЕРЕДАТОЧНОЕ ОТНОШЕНИЕ И ПЕРЕДАТОЧНОЕ ЧИСЛО

Важнейшей характеристикой всякого зубчатого механизма является передаточное отношение. Передаточным отношением называется отношение угловых скоростей колес. Передаточное отношение принято обозначать буквой U и снабжать индексами, указывающими номера зубчатых колес, например U12 = ω1ω2. Из рассмотрения зубчатой передачи на рис.5.23 следует:

VA1 = ω1 r1                        VA2 = ω2 r2                     VA1 = V A2

Тогда

U12 = ω1 / ω2 = r2 / r1 = m z2 / m z1 = z2 / z1                                                 (5.10)

Передаточному отношению присваивается знак +, если входное и выходное колеса вращаются в одном направлении, и знак -, если они вращаются в разном направлении. Для зубчатой передачи внешнего зацепления U12 отрицательно, для внутреннего зацепления – положительно. При передаточном отношении больше единицы имеем редуктор (замедление скорости), при передаточном отношении меньше единицы – мультипликатор (происходит увеличение скорости вращения). В подавляющем большинстве случаев механизмы являются редукторами. Их назначение – уменьшать частоту вращения двигателя до той, которая необходима для нормальной работы исполнительного органа машины. Одновременно с уменьшением частоты вращения повышается крутящий момент. Так как к.п.д. зубчатой передачи очень высок (0.95 – 0.98), то можно считать, что мощности N1 = N2, где N1 = M1 ω1, N2 = M2 ω2, отсюда следует, что M2 = M1 U12.

Передаточное отношение не следует путать с передаточным числом, под которым понимается отношение угловой скорости большего колеса к угловой скорости меньшего, называемого обычно шестерней. Передаточное число всегда больше единицы и знака не имеет.

Рядовой зубчатой передачей (зубчатым рядом) называется зубчатый механизм, образованный зубчатыми колесами с неподвижными осями. Зубчатый ряд состоит из одной или нескольких зубчатых передач. Рассмотрим механизм на рис. 5.24. Он составлен из трех зубчатых передач, образованных колесами z1, z2, z3, z4, z5, z6. Запишем их передаточные отношения:

U12 = ω1./ ω2,       U34 = ω3 / ω4,         U45 = ω4 / ω5,

откуда

Ω2 = ω1 / U12,       ω4 = ω3 / U34,         ω5 = ω4 / U45

Производя последовательную подстановку выражений для ω2, ω4, ω5, получим

Ω5 = ω1 / U45 U34 U12,

откуда

U15 = U12 U34 U45

Полученная формула является частным случаем общего правила, формулируемого следующим образом:

Передаточное отношение рядовой зубчатой передачи равно произведению передаточных отношений входящих в нее зубчатых передач, при этом следует учитывать знаки передаточных отношений составляющих зубчатых передач.

Передаточное отношение также можно выразить через числа зубьев:

U15 = Z2 Z4Z5 / Z1 Z2 Z4                                                           (5.11)

Отсюда следует второе правило:

Передаточное отношение рядовой зубчатой передачи равно дроби, в числителе которой стоят числа зубьев выходных колес, а в знаменателе – входных. Знак берется согласно указанному выше правилу знаков. В формуле колесо Z4 не влияет на численное значение передаточного отношения, но влияет на знак. Такое колесо называется паразитным

5.22 РАСЧЕТ РЯДОВОЙ КОРОБКИ ПЕРЕДАЧ

В качестве примера рассмотрим коробку передач легкового автомобиля, в основе которой рядовой зубчатый механизм (рис. 5.24).


Она состоит из входного вала 1, выходного вала 2 и промежуточного вала 3. На промежуточном валу жестко закреплены колеса с числом зубьев Z1 = 29, Z2 = 24, Z3 = 20, Z4 = 15, Z5 = 15, на входном валу – колесо Z6 = 17. На выходном валу подвижно установлены колеса Z7 = 24, Z8 = 27, Z9 = 33. Для включения передачи 1 рычагом переключения передач передвигается кулачковая муфта М1 направо так, что она кулачками сцепляется с колесом Z9. Передвигая муфту влево, включаем передачу II, аналогично посредством муфты М2 происходит включение передач III IY. При указанных числах зубьев колес рассчитаем передаточные отношения на I II III IY передачах:

UI = 29 33 / 17 15 = 3.75

UII = 29 27 / 17 20 = 2.303

UIII = 29 21/ 17 24 = 1.49

UIY = 1

Вводя в зацепление с колесами Z5 и Z10 = 34 паразитное колесо Z11, получаем передачу заднего хода с передаточным отношением

Uзх = - 29 34 / 17 15 = - 3.88.

5.23 ПЛАНЕТАРНЫЕ ЗУБЧАТЫЕ МЕХАНИЗМЫ


Планетарным называется зубчатый механизм, содержащий колеса с подвижными осями. Планетарные зубчатые механизмы широко распространены в технике, особенно транспортной, так как, обладая большим передаточным отношением, имеют малые габариты и вес. Иногда эти механизмы называют эпициклическими, так как траектории точек колес с подвижными осями при внешнем зацеплении представляют эпициклоиды. Простейший планетарный механизм представлен на рис. 5.25. Колесо 2 с подвижной осью называется сателлитом, центральное колесо 1 – солнечным, звено, несущее ось сателлита, называется водилом, его принято обозначать буквой Н.

Если колесо 1 подвижно, степень подвижности механизма, рассчитанная по формуле Чебышева, равна 2, Если остановить колесо 1, получим механизм с W = 1 (рис. 5.25б) Механизмы, у которых W>1, называются дифференциальными (зубчатыми дифференциальными). Если у планетарного механизма остановить водило, оставив колеса свободными, получим рядовую передачу.


Схема планетарных механизмов могут быть очень разнообразными. Практическое применение нашло, в основном, только несколько схем. Наиболее распространенные схемы представлены на рис. 5.26.

Механизм по схеме а получил название механизма Джеймса, а механизм по схеме в – механизм Давида. Наибольшее распространение получила схема а. Она характеризуется высоким к.п.д., практический диапазон передаточных отношений U = 3 – 8. Механизмы по схемам в и г могут иметь очень большие передаточные отношения, но у них низкий к.п.д. По схеме е выполняются мотор – редукторы, представляющие в одном агрегате двигатель и редуктор. Особенно перспективна схема д, здесь всего два колеса, высокий к.п.д., большое передаточное отношение.

5.24 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕДАТОЧНОГО ОТНОШЕНИЯ И УГЛОВЫХ СКОРОСТЕЙ ПЛАНЕТАРНЫХ МЕХАНИЗМОВ

Кинематический расчет планетарных механизмов значительно более сложен, чем рядовых механизмов. Он основан на методе обращения движения. Рассмотрим его на примере механизма на рис. 5.27. Считаем, что заданы числа зубьев колес Z1, Z2, Z3, Z4, угловая скорость входного колеса ω1. Требуется определить передаточное отношение U, угловую скорость выходного звена Н и угловую скорость колеса 2.

Сущность метода обращения движения состоит в следующем: придадим стойке механизма скорость вращения водила ωн, но в противоположном направлении. Тогда водило окажется неподвижным в абсолютной системе отсчета, а остальные звенья приобретут дополнительную скорость – ωн. Изобразим обращенный механизм рядом на схеме. Механизм с неподвижным водилом является зубчатым рядом, для него справедливы полученные ранее соотношения:

U14H = (ω1 - ωH) / (ω4ωH)                                                     (5.12)

Здесь верхний индекс Н указывает, что параметры относятся к обращенному механизму. Согласно формуле (5.11) имеем:

U14H = - Z2 Z4 / Z1 Z3

Из формулы (5.12) после некоторых преобразований следует:

U1H = ω1 / ωH = 1 - U14H

Полученная формула справедлива для любой схемы планетарного механизма. Она носит название формулы Виллиса.

Если требуется определить передаточное отношение от водила к колесу 1, то, имея в виду, что UH1 = 1 / U1H, получим

UH1 = 1 / (1 - U14H)

Зная U1H, можно найти ωН: ωН = ω1 / U1H. Для определения скорости ω2 следует рассмотреть одну ступень планетарного механизма и изобразить соответствующий ей обращенный механизм (рис.5.28). Для обращенного механизма

U12 = (ω1ωH) / (ω2 - ωH)

Отсюда уже не представляет сложности определить ω2.

5.25 КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ АВТОМОБИЛЬНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА


Рассмотренный метод кинематического исследования применим также к анализу дифференциальных зубчатых механизмов. Одним из наиболее известных является автомобильный дифференциал (рис.5.29). Его назначение – передача движения от карданного вала к колесам автомобиля. Механизм, представленный на рис.5.29, включает главную передачу, образованную коническими колесами Z1 и Z2, корпус дифференциала, являющийся в то же время водилом дифференциального механизма, нескольких сателлитов Z4 и двух центральных колес Z3 и Z5, жестко посаженных на полуоси колес.

Применим к этому механизму принцип обращения движения, сообщив ему скорость – ωН. На рис. представлен обращенный механизм. Для него можно записать

U35H = (ω3ωH) / (ω5ωH) = Z5 / Z3

Поскольку Z5 = Z3, U35H = -1. Знак минус указывает, что колеса Z3 и Z5 в обращенном механизме вращаются в противоположном направлении. Произведя подстановку, получим уравнение автомобильного дифференциала:

Ω3 + ω5 = 2 ωН                                                                                                                        (5.13)

Произведем анализ формулы (5.13). При движении по прямому участку дороги ω3 = ω5 = ωН, следовательно, дифференциал как бы жестко связывает полуоси, происходит кинематическая блокировка дифференциала. Совершенно по другому ведет себя дифференциал при движении по закруглению. Внешнее колесо движется с большой угловой скоростью, чем внутренне, но так, что их средняя скорость равна скорости водила. Если бы колеса были связаны жесткой осью, происходило бы пробуксовка одного или обоих колес, ухудшая эксплуатацию автомобиля. В том случае, когда одно колесо свободно пробуксовывает, второе колесе неподвижно. Скорость буксующего колеса равно Н. В таких случаях применят механическую блокировку дифференциала.

5.26 ЗАМКНУТЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ МЕХАНИЗМЫ

Замкнутые дифференциальные механизмы позволяют получать огромные передаточные отношения при высоких к.п.д. Схемы таких механизмов чрезвычайно разнообразны. Рассмотрим механизм, построенный на основе трехколесного дифференциала (рис. 5.30). Для получения большого передаточного отношения необходимо, чтобы солнечные колеса Z1 и Z3 вращались в разные стороны. Это достигается тем, что вводится замыкающая кинематическая цепь, выполненная в виде рядового зубчатого механизма. В отдельных случаях возможно получение передаточного отношения порядка 700 -- 1000. При анализе таких механизмов их надо разделить на рядовую и планетарную ступени и проводить анализ каждой ступени, используя формулы, приведенные выше.

5.27 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ КОРОБКИ ПЕРЕДАЧ

Дифференциальные коробки передач получили широкое распространение в транспортных машинах, например, тяжелых тракторах, лебедках и т.д. Они представляют дифференциальные механизмы, которые посредством фрикционных муфт можно преобразовать в различные комбинации рядовых и планетарных механизмов, при этом изменяется общее передаточное отношение механизма.

В качестве примера рассмотрим привод тяговой лебедки (рис. 5.31). Привод составлен на основе двух последовательно установленных трехколесных дифференциалов, снабженных ленточными тормозами Т1 и Т2 и фрикционными муфтами М1 и М2.

Здесь возможны четыре режима передач. При включении тормозов Т1 и Т2 дифференциалы работают как последовательно установленные планетарные механизмы, при этом обеспечивается наибольшее передаточное отношение. Для получения второй передачи включается тормоз Т1 и муфта М2. Тем самым блокируется второй дифференциал, который ведет себя как одно звено, работает только планетарный механизм первой ступени. Третья передача получается, если включить тормоз и муфту М1. Четвертая передача получается при включении муфт М1 и М2. Это режим прямой передачи без редукции.

5.28 ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД АНАЛИЗА ПЛАНЕТАРНЫХ МЕХАНИЗМОВ

В ряде случаев полезно произвести кинематическое исследование планетарного механизма графическим методом. В основе этого метода лежат два положения кинематики:

1.             Скорость точки звена, совершающего вращательное движение, является линейной функцией радиуса вращения. В таком случае график зависимости скорости от радиуса есть прямая линия.

2.             Любое плоское движение можно рассматривать как мгновенное вращательное движение вокруг МЦС (мгновенного центра скоростей).


В качестве примера рассмотрим механизм, представленный на рис. 5.32. Он включает планетарную и рядовую ступень, составленную колесами Z5 и Z6. Схема механизма должна быть построена в масштабе kl = lOA / OA. Справа от схемы построена линия полюсов р – р. От этой линии откладываются скорости точек звеньев в масштабе kV = VA / pa. Условимся положительные скорости направлять вправо, отрицательные – влево. Точки на линии полюсов находятся в проекционной связи с точками на механизме. Построение плана скоростей начинается с точки А. Скорость точки С равна нулю, эта точка является МЦС для блока сателлитов. Линия са на плане скоростей называется картиной распределения скоростей. Она обладает тем свойством, что на ней находятся концы векторов скоростей точек, лежащих на блоке сателлитов. Это свойство обосновано выше. Тогда, проведя линию проекционной связи, найдем скорость точки В. Соединив точки В и О, получим картину скоростей водила. Дальнейшее построение ясно из рисунка.

Покажем, что угловая скорость звена пропорциональна тангенсу угла наклона соответствующей картины скоростей. Это следует из соотношения:

Ω1 = VA / LOA = tg α kω                                                                                                   (5.14)

Аналогичные выражения можно записать для угловых скоростей остальных звеньев.

Формула (5.14) позволяет по углу наклона найти угловые скорости. Однако можно избегнуть необходимости этого расчета, если произвести дополнительное построение плана угловых скоростей. Выбирается произвольный вертикальный отрезок sk, из точки к строятся под углами α лучи до пересечения с горизонталью, проведенной через точку s. Из построений следует, что, например, tg α = sa / sk. Следовательно отрезки sa, sc, sb, se выражают в масштабе угловые скорости ω1, ω2, ωН, ω6.

Графическое исследование дифференциального механизма производится аналогично, с той лишь разницей, что скорость точки С принимается равной нулю.

5.29 УСЛОВИЯ СООСНОСТИ, СОСЕДСТВА, СБОРКИ ПЛАНЕТАРНЫХ МЕХАНИЗМОВ

В отличие от рядовых механизмов планетарный механизм может существовать только при выполнении определенных соотношений между числами зубьев колес. Прежде всего должно быть выполнено условие соосности. Оно состоит в том, что оси центральных, солнечного и опорного, колес, а также водила должны совпадать. В противном случае механизм заклинит. Из рассмотрения схем на рис.5.33. следует:

а + b = c + d

Поскольку колеса изображены их делительными окружностями, то нетрудно через диаметры делительных окружностей записанное выше равенство представить в виде:

Z1 + Z2 = Z3 + Z4

Аналогичным образом для механизма по схеме б получено условие:

Z1 + Z2 = Z4 – Z3

Условие соседства сателлитов выражается в том, что соседние сателлиты не должны касаться друг друга окружностями вершин (рис.5.34) Из геометрических построений соотношение:

2 r2a < 2 RH sin π / k

где r2a - радиус окружности вершин сателлита,

RH – радиус водила,

k – число сателлитов в механизме.

Выразив радиусы через модули и числа зубьев, и произведя преобразования, получим:

Sin π / k > (Z2 + 2) / (Z1 + Z2)                                                  (5.15)

Формула (5.15) позволяет подсчитать максимальное число сателлитов. Впрочем, эту задачу можно решить и чисто графически.

При сборке трехколесного планетарного механизма может оказаться, что после установки первого сателлита остальные сателлиты установить нельзя. Это происходит потому, что поставленный первым сателлит полностью определяет взаимное положение центральных колес. Установим условия, налагаемые на числа зубьев, при которых будет происходить собираемость механизма (рис. 5.35)

Будем считать, что сателлит имеет четное число зубьев, тогда впадины на центральных колесах можно расположить друг против друга. Повернем колесо 1 на целое число Е угловых шагов φ1Е = Е φ1, где φ1 = 2π/Z1.Тогда впадины между зубьями расположатся друг против друга и можно поставить следующий сателлит. Подсчитаем угол поворота водила:

Φ1Е / φHE = U1H,

Отсюда

ΦH E = 2π E / Z1 U1H

Воспользовавшись формулой Виллиса, выразим U1H через U13H и преобразуем вышезаписанную формулу:

ΦHE = 2π E / (Z1 + Z3)

Таким путем можно установить к сателлитов, если расположить их равномерно:

к = 2π/ φHE = (Z1 + Z3) / E

Поскольку к – целое число, Z1 + Z3 должно быть кратно числу сателлитов. Аналогичные результаты получены и при нечетном числе зубьев сателлитов. Для передач с двойными сателлитами условие сборки можно получить аналогичным образом.

5.30 ПРИМЕР СИНТЕЗА ПЛАНЕТАРНОГО МЕХАНИЗМА

Рассмотрим методику синтеза планетарного механизма, ограничиваясь соблюдением условия заданного передаточного отношения и условия соосности. Пусть выбрана схема механизма (рис.5.36), для которой надо подобрать числа зубьев, обеспечивающие передаточное отношение, например, равное 12.

1. Определяем передаточное отношение соответствующего обращенного механизма:

U14H 1 – U1H = - 11

2.Разложим полученное передаточное отношение на множители. Здесь возможны разнообразные варианты, например:

U14H = Z2 Z4 / Z1 Z3 = 220 / 20 =4 ▪ 55 / 4 ▪ 5

3.Запишем условие соосности и проверим его выполнение для принятых чисел зубьев:

Z1 + Z2 = 4 + 4 = 8

Z4 – Z3 = 55 – 5 = 50

4.Условие соосности, как правило, не выполняется. Для его выполнения нужно умножить верхнюю формулу на 50, а нижнюю – на 8. Тогда

Z1 = 200 Z2 = 200 Z4 = 440 Z3 = 40

Полученные числа зубьев можно сократить так, чтобы получились реально выполнимые колеса с числом зубьев в пределах 10 – 100.

5.31 ВОЛНОВАЯ ПЕРЕДАЧА

В 1959 году Массер (США) запатентовал зубчатую передачу, которая в настоящее время пользуется большой популярностью. Ее основные достоинства – большое передаточное отношение, высокий к.п.д., способность передавать движение в герметичные полости, многопарность зацепления (до 30% зубьев), малое скольжение и износ. В волновой передаче одно из колес выполняется гибким, способным деформироваться под действием звена, называемого генератором волн. Волновые передачи весьма разнообразны. Чаще всего они выполняются с неподвижным жестким звеном и внутренним гибким колесом. Возможны двухволновые и многоволновые механизмы с генератором в виде эллипсовидного звена с шариковым сепаратором.

Преобразование движения происходит за счет деформации упругой оболочки. Легче всего принцип действия волновой передачи объяснить, исходя из аналогии с планетарной передачей. Волновая передача, представленная на рис. 5.37, эквивалентна двухколесной планетарной передаче (рис. 5.37 б), у которой число зубьев сателлита равно числу зубьев гибкого колеса.

Для планетарного механизма

U12H = (ω1ωH) / (ω2ωH) = Z2 / Z1,

откуда

Uпл = ωH / ω1 = 1 / (1 – Z2 / Z1)

Если Z2 / Z1 ≈ 1, то Uпл получается очень большим и имеет отрицательный знак.

Еще один вариант исполнения волновой передачи представлен на рис. 5.37 в. Здесь посредством гибкой стенки герметично разъединены полости А и Б Планетарным аналогом служит механизм с поступательно движущимся сателлитом. Для него

U12H = (ω1ωH) / (ω2ωH) = Z2 / Z1,

Откуда

Uпл = ωH / ω2 = (Z2 / Z1) / (Z2/ Z1 – 1)

Здесь передаточное отношение положительно, что обусловливает большой к.п.д.